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滤波器
滤波器设计
摘要：本文主要讨论了广泛介绍器应用于模拟电路中的LC滤波器的设计方法。基于上述讨论，利用数学方法与CAD分别设计了一个实用的LC滤波器，并对两种设计方法进行了比较，提供了最终的测试曲线。在文末，提出了新的滤波器调试方法，提供了理论与实际的实现方法。
关键词：滤波器设计 滤波器时域调谐
滤波器是许多模拟射频电路与系统的设计问题的中心。滤波器可以被用来区分不同频率的信号，实现各种模拟信号的处理过程，因而在现代模拟射频电路与系统中得到了广泛的应用。
滤波器按照不同的标准可以有不同的分类，按作用分类（低通、带通）；按结构分类（腔体、同轴）；按频带大小分类（窄带、宽带）。所有的分类方法都是依照个人应用需求而定的，所以多少存在一定的随意性。在目前的电路系统中，LC滤波器由于具有结构简单，造价低廉，性能稳定的优点，因而得到了广泛的应用。但是，因为LC滤波器是基于集总元件而构建的，所以在设计与调试过程中存在不少的困难。因此本文提供了一个工程上可实现的实际滤波器设计个例；而针对传统滤波器调谐困难的问题，在文章中，还讨论了基于时域的滤波器调谐方案。
滤波器特性可以用其频率响应来描述，按其特性的不同，可以分为低通滤波器，高通滤波器，带通滤波器和带阻滤波器等。
用来说明滤波器性能的技术指标主要有：
中心频率f0,即工作频带的中心
带宽BW
通带衰减，即通带内的最大衰减
阻带衰减
对于实际滤波器而言，考虑到实际的组成元件的品质因数的取值是一有限值（因为受限于材料与工艺的水平），所以所有工程上的实用滤波器都是有损滤波器，因此对于这些滤波器还应考虑通带内的最小插入衰减。
现代滤波器设计，多是采用滤波器变换的方法加以实现。主要是通过对低通原型滤波器进行频率变换与阻抗变换，来得到新的目标滤波器。
集总低通原型滤波器是现代网络综合法设计滤波器的基础，各种低通、高通、带通、带阻滤波器大都是根据此特性推导出来的。正因如此，才使得滤波器的设计得以简化，精度得以提高。
理想的低通滤波器应该能使所有低于截止频率的信号无损通过，而所有高于截止频率的信号都应该被无限的衰减，从而在幅频特性曲线上呈现矩形，故而也称为矩形滤波器（brick-wall filter）。遗憾的是，如此理想的特性是无法实现的，所有的设计只不过是力图逼近矩形滤波器的特性而已。根据所选的逼近函数的不同，可以得到不同的响应。虽然逼近函数函数多种多样，但是考虑到实际电路的使用需求，我们通常会选用“巴特沃斯响应”或“切比雪夫响应”。
图1“巴特沃斯响应”带通滤波器
图2 “切比雪夫响应”带通滤波器
从图1和图2中，我们可以看到“巴特沃斯响应”带通滤波器具有平坦的响应特性，而“切比雪夫响应”带通滤波器却具有更陡的衰减特性。所以具体选用何种特性，需要根据电路或系统的具体要求而定。但是，“切比雪夫响应”滤波器对于元件的变化最不敏感，而且兼具良好的选择性与很好的驻波特性（位于通带的中部），所以在一般的应用中，推荐使用“切比雪夫响应”滤波器。
当选定了滤波器特性后，需要进行适当的变换来求得具体的滤波器参数。滤波器变换包括频率变换与阻抗变换，现以带通为例，加以说明。为了解释方便，先给出纹波为0.1dB的切比雪夫低通原型滤波器。
表1 0.1dB切比雪夫低通原型滤波器元件数值表
低通原型滤波器是以端接阻抗Z0=1，截止频率ω0=1为标准的。首先需要将端接阻抗变换为标准50Ω，此时可以直接将元件数值表中对应于电感的数值乘以50，对应于电容的除以50即可；变换为其他端接阻抗值的方法与此相同，在此不再赘述。但是应该注意的是，表中的数据是电抗元件值，而不是最终的电感、电容取值。
还应注意到，在n为奇数的时候，数值表中的数值是对于中间数值是左右对称的，而且端接阻抗都是Z0=1，所以在使用切比雪夫低通原型滤波器作设计时，应该尽量选用n为奇数的原型。
下面我们来讨论滤波器设计中最重要的一步，频率变换。
设低通滤波器原型的频率变量为ω’,带通滤波器的频率变量为ω，如图3所示。
图3 低通原型响应及带通滤波器响应
由于ω’=0的点变换为ω=ω0的点；ω’=∞的点变换为ω=0和ω=∞的点，所以低通到带通的频率变换公式为
ω’= (1)
式中W= ,表征带通滤波器的相对带宽，ω0= ，表征带通滤波器的中心频率，ω1、ω2分别为带通滤波器的下边带频率和上边带频率。
低通原型滤波器的电感元件L’的感抗经过式(1)变换后，得
ω’ L’= = (2)
Ls= (3)
Cs= (4)
低通原型滤波器的电容元件C’容抗经过式(2)变换后，得
ω’C’= = (5)
Cp= (6)
Lp= (7)
从上面的分析可以看出，在低通向带通的变换过程中，低通原型中的电感元件变换为电容与电感的串联；低通原型中的电容元件变换为电容与电感的并联。
通过上述经典变换得到的滤波器的耦合部分是由电感与电容串联而成的，在实际使用中，存在着不便，因为通常会需要绕制较大的电感。比如，现给出一个中心频率为300MHz，带宽20MHz的切比雪夫带通滤波器原理图。
图4 切比雪夫带通滤波器原理图
在图中我们可以看到，需要3个数值在300nH以上的耦合电感，而并联的谐振电感又具有比较偏小的数值而且数值上存在差异。这给生产与调试均带来了很大的困难。现介绍如何设计一个只使用耦合电容，而且可以得到数值一致的并联谐振电感。
我们引入导纳变换器J，那么导纳变换器两端的导纳值遵循如下关系：
Za*Zb=J 2 (8)
Za、Zb分别代表变换器两端的阻抗。那么经过插入导纳变换器后，图4中的带通滤波器就变换为耦合部分只有电容，而谐振部分的电感则取值一致的形式，见 图5。
图5 直接耦合形式的切比雪夫带通滤波器原理图
下面来讨论如何计算上述电路中电容的取值。
图6 直接耦合低通滤波器
图7 直接耦合带通滤波器
阻抗变换器J的等效电路见图8。
图8 阻抗变换器等效电路
定义Хi= 为第i个谐振器的电抗斜率参数，那么
Хi= = （9）
综合式（6）（7）与式（9），可得导纳变换器为：
Cri= (10)
J01= (11)
Ji,i+1= (12)
Jn,n+1= (13)
由图7阻抗变换器的等效电路可见，最终需要补偿阻抗变换器引入的负电容。则最终的耦合电容取值为，
C01= (14)
Cj,j+1= (15)
Cn,n+1= (16)
并联谐振电容取值为，
C1=C01-C01*-C12 (17)
Cj=Crj-Cj-1,j-Cj,j+1 (18)
Cn=Crn-Cn-1,n-Cn,n+1* (19)
式中C01*= ,Cn,n+1*= ，GA,GB分别为源端与负载端的导纳，gi为滤波器数据表格中的对应数值。
通过上述方法，我们就可以用计算机计算出直接耦合滤波器的所有元件取值。
1.3.2 借助CAD软件设计直接耦合滤波器
上述方法是理论上的计算方法，虽然我们可以借助于各种计算软件，简化计算过程，但毕竟不够简洁，而且不能立即的得到直观的仿真结果。幸而，随着计算机的发展，有越来越多的商业设计软件面世，并且有很多的第三方免费软件可以选择。当然，这些免费软件大多只是将计算与显示合一，在功能上有一些限制与不足。但如果设计者经验较为丰富，又或者只是作为研究用途而没有太高的要求，那么还是建议使用这些软件。
商业设计软件如ADS ,Ansoft Designer ,MicroWaveOffice等，通常都是将滤波器设计作为一个附加功能加入主程序当中的。这些软件的优点在于可以较为精确的模拟实际元件的行为（比如用户可以指定元件的Q值），因而得到的结果更加具有意义。
图9 Ansoft Designer设计界面
图9给出了Ansoft Designer 的滤波器设计界面。在这个界面中，我们可以指定滤波器级数，中心频率，带宽，端接阻抗，并联谐振电感等；而且可以在设计过程中，就可以直观的看到相应的特性曲线。在后续的处理中，我们还可以将设计结果输出，进行调谐与优化，还可以打印输出，十分灵活方便。
2. 实用滤波器设计
我们在实际设计滤波器时，通常使用设计软件来辅助工作。在此我们设计一个满足如下要求的带通滤波器。
中心频率：300MHz
带宽： 20MHz
插入损耗：≤4dB
VSWR: ≤2.5
带外抑制：偏离中心频率40MHz处大于40dB
相位波动：≤10°
2.1. 滤波器阶数的选取
因为传统上的带通滤波器是基于低通变换而来的，所以我们可以利用式(1)配合图表来决定滤波器的阶数。将上述频带要求套用式(1)，
| |= = =3.98
图10 0.1dB切比雪夫带通滤波器特性曲线
从图中可以看到如果我们想满足所需要的边带特性，只需要一个3阶的滤波器就可以满足要求了。
当然我们有更为简单的选择，在Ansoft Designer 中，我们可以先指定滤波器的阶数，然后选择Analyze，就可以直观的看到此时的滤波器幅频特性，然后不断调整，直至满足要求。
2.2. 滤波器设计中的考虑
当选定滤波器的阶数后，我们就可以转入滤波器的详细设计过程。我们还是基于Ansoft Designer 软件。
选定频率、阶数等参数后，选择Next，软件会自动给出设计完成后的滤波器元件参数与分析结果，见图11。
图11 软件设计输出结果
在图11右半部分的特性曲线中，我们可以看到S21曲线的上边带部分有上翘的倾向。这是由于电容在高频时特性下降所造成的，而且如果选用的电容特性不好，以致于电容的谐振频率接近边带频率，这种上翘的倾向会更加严重，以致于完全不能满足带外特性。
面对这种情况，我们可以有两个选择：1 增加滤波器的阶数，使得高频段的衰减更加陡峭，来补偿滤波器中电容的高频特性；2采取其他的补偿方式。如果采取方案1的话，带来的必然结果就是滤波器的复杂度的增加，以及调试难度的增加。所以，一般不建议在满足低频段阻带衰减要求的时候增加滤波器的阶数。那么，我们只剩下了一个选择，在滤波器的结构上加以变化。通常这种变化有两种：1在滤波器的两端加低通滤波器，利用低通的高频衰减特性，来抵消电容的高频特性；2改造原有电路的传递函数，在传递函数中添加额外的传输零点，从而改善带外响应特性，获得所谓的Cross-Coupled Filter.。
第一种方法较好理解，下面解释一下第二种方法。我们知道，传统的由低通到带通的变换而得到的滤波器传递函数是全极点形式的。这意味着，如果我们能够添加额外的传输零点，比如在带外，那么我们就可以在传输零点附近得到很大的衰减，从而改善带外特性。具体的讨论见附录A.
现在，我们先设计一个低通滤波器，使其频率截止点在上边带附近，来改善幅频特性。低通的幅频特性见图12。
图12 低通特性
然后，我们把该低通与之前设计的带通相组合，就可以得到所需要的带通滤波器。将上述设计的滤波器在工程上实现后，得到了如下测试数据。从测试结果来看，完全满足设计要求。
在此应该特别注意的是，我们在滤波器指标方面提出了相位波动的要求，请注意不是相位要求。相位特性通常指的是正向传输系数S21的相位与频率的关系。其特性见图13。
图13典型的S21相位曲线
但是，这个特性并不代表相位波动特性。这可能会使得一些读者产生迷惑，所以我们先解释一下什么是相位波动。一个滤波器电路，可以等效于一段传输线。当传输线的特性是非色散时，通过传输线的信号的相位关系将严格保持输入时的相位关系。但是，当传输线是色散传输线时，由于传输线对于不同频率信号的响应会有不同，输出信号的相位关系将不会再严格保持输入时的原有的相位关系。从统计学的角度来看，两次输出信号相位差异表现为：非色散时，信号相位是平均分布在均值上的；色散时，信号相位是随机分布在均值附近的。这个相位分布与均值之间的差值就是相位波动。这其实就是为什么在使用网络分析仪测量传输线的相位波动时，需要调整Electrical Delay的原因。调整Electrical Delay实际上就是为了求得色散传输线的相位均值，从而求得分布差值。
那么如何求得这个随机分布呢？一般而言，直接求得滤波器的传输函数的相频分布特性是比较困难的，而且没有现成的工具可以利用。考虑到群时延(Group Delay)的定义，GD=dΨ/dω。输出信号的相频特性是可以用群时延来刻画的，Ψ=GD*ω。求相位的分布就转化为求群时延的分布了。而求群时延的函数在所有的设计软件中都有包括。我们只要使得设计的滤波器的带宽落在群时延特性平坦的部分即可满足相位波动要求。当然还需要计算一下具体的结果。群时延特性见图14。
图14 群时延特性
图15 S11特性
图16 S21幅频特性
图17 S21相位波动特性
图18 S21宽带幅频特性
图19 S22特性
2.3. 滤波器工程实现中的考虑
滤波器在工程实现时，我们还会遇到下面一些问题。
1 滤波器基板的选择
2 滤波器电容的选择
3 滤波器调试
滤波器调试的问题，我们在本文的第三部分将会详细说明。下面讨论一下关于基板与电容的选取。
2.3.1 基板的选取
滤波器的基板，主要是在结构上起支撑组成滤波器的电容与电感的作用。但是，这并不是说基板对于滤波器的性能没有影响，作用可以忽略。其实，基板的影响是很大的。当基板的Q值较小时，其分布参数较大，这些分布参数会严重的影响